Class x maths Exercise :- 4.1 to 4.3

CLASS X 

SUBJECT :- MATH 

CHAPTER :- Quadratic Equations

Exercise 4.1

1. Check whether the following are quadratic equations :
     जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :

(i) (x + 1)² = 2(x – 3)        

(ii) x²– 2x = (–2) (3 – x)

(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)        

(iv) (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)               

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²

(vii) (x + 2)³= 2x (x² – 1)                

(viii) x³– 4x² – x + 1 = (x – 2)³

2. Represent the following situations in the form of quadratic equations :
        निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :

(i) The area of a rectangular plot is 528 m2. The length of the plot (in metres) is one more than twice its breadth. We need to find the length and breadth of the plot.
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

(ii) The product of two consecutive positive integers is 306. We need to find the integers.
     दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।

(iii) Rohan’s mother is 26 years older than him. The product of their ages (in years) 3 years from now will be 360. We would like to find Rohan’s present age.
 रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

(iv) A train travels a distance of 480 km at a uniform speed. If the speed had been 8 km/h less, then it would have taken 3 hours more to cover the same distance. We need to find the speed of the train.

 एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक  लेती । हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

Here’s how to represent each of these word problems as quadratic equations:

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🟠 (i) Area of Rectangular Plot

Given:

• Area = 528 m²

• Length = 1 more than twice the breadth

Let the breadth be $x$ m
⇒ Length = $2x + 1$ m

Area = Length × Breadth

$$(2x + 1)(x) = 528 \Rightarrow 2x^2 + x = 528 \Rightarrow 2x^2 + x - 528 = 0$$

✅ Quadratic Equation:

$$\boxed{2x^2 + x - 528 = 0}$$

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🟠 (ii) Product of Two Consecutive Positive Integers is 306

Let the first integer be $x$
⇒ Next consecutive integer = $x + 1$

Product:

$$x(x + 1) = 306 \Rightarrow x^2 + x = 306 \Rightarrow x^2 + x - 306 = 0$$

✅ Quadratic Equation:

$$\boxed{x^2 + x - 306 = 0}$$

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🟠 (iii) Age of Rohan and His Mother

Let Rohan's present age be $x$
⇒ Mother's age = $x + 26$

After 3 years:

• Rohan = $x + 3$

• Mother = $x + 26 + 3 = x + 29$

Product of their ages:

$$(x + 3)(x + 29) = 360 \Rightarrow x^2 + 32x + 87 = 360 \Rightarrow x^2 + 32x - 273 = 0$$

✅ Quadratic Equation:

$$\boxed{x^2 + 32x - 273 = 0}$$

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🟠 (iv) Speed of Train Problem

Let the speed of the train be $x$ km/h

Time = Distance ÷ Speed

• Actual time = $\frac{480}{x}$

• New speed = $x - 8$ km/h
  ⇒ New time = $\frac{480}{x - 8}$

Given:

$$\text{New time} = \text{Actual time} + 3 \Rightarrow \frac{480}{x - 8} = \frac{480}{x} + 3$$

Multiply through by $x(x - 8)$:

$$480x = 480(x - 8) + 3x(x - 8) \Rightarrow 480x = 480x - 3840 + 3x^2 - 24x \Rightarrow 0 = 3x^2 - 24x - 3840 \Rightarrow x^2 - 8x - 1280 = 0$$

✅ Quadratic Equation:

$$\boxed{x^2 - 8x - 1280 = 0}$$

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Let me know if you'd like step-by-step solutions for these equations!

Exercise 4.2

1. Find the roots of the following quadratic equations by factorisation:
   गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिएः

(i) x² – 3x – 10 = 0        

(ii) 2x² + x – 6 = 0

(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0        

(iv) 2x² – x + 1/8 = 0

(v) 100x² – 20x + 1 = 0  

2. Solve the problems given in Example 1.

   उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।

Example 1 : Represent the following situations mathematically: 

 (i) John and Jivanti together have 45 marbles. Both of them lost 5 marbles each, and the product of the number of marbles they now have is 124. We would like to find out how many marbles they had to start with. 

 (ii) A cottage industry produces a certain number of toys in a day. The cost of production of each toy (in rupees) was found to be 55 minus the number of toys produced in a day. On a particular day, the total cost of production was ` 750. We would like to find out the number of toys produced on that day.

3. Find two numbers whose sum is 27 and product is 182.

   ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

4. Find two consecutive positive integers, sum of whose squares is 365.

   दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

5. The altitude of a right triangle is 7 cm less than its base. If the hypotenuse is 13 cm, find the other two sides.

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

6. A cottage industry produces a certain number of pottery articles in a day. It was observed on a particular day that the cost of production of each article (in rupees) was 3 more than twice the number of articles produced on that day. If the total cost of production on that day was ` 90, find the number of articles produced and the cost of each article.

  एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक  विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।

Exercise 4.3

1. Find the nature of the roots of the following quadratic equations. If the real roots exist, find them:
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :

(i) 2x² – 3x + 5 = 0 

(ii) 3x²– 4 √3x + 4 = 0

(iii) 2x²– 6x + 3 = 0

2. Find the values of k for each of the following quadratic equations, so that they have two equal roots.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में  k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।

(i) 2x²+ kx + 3 = 0 (ii) kx (x – 2) + 6 = 0

3. Is it possible to design a rectangular mango grove whose length is twice its breadth, and the area is 800 m2? If so, find its length and breadth.

 क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

4. Is the following situation possible? If so, determine their present ages.

The sum of the ages of two friends is 20 years. Four years ago, the product of their ages in years was 48?

क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

5. Is it possible to design a rectangular park of perimeter 80 m and area 400 m2? If so, find its length and breadth.

क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m2 के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।