class ix maths Chapter 2

CLASS IX 

SUBJECT :- MATHS 

CHAPTER :- 2

𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜𝐢𝐬𝐞 𝟐.𝟏

1. Which of the following expressions are polynomials in one variable and which are not? State reasons for your answer.

(i) 𝟒𝐱² – 𝟑𝐱 + 𝟕

(ii) 𝐲² + √2

(iii) 3√t + t√2

(iv) 𝐲 + 2/y

(v) 𝐱¹⁰ + 𝐲³ + 𝐭⁵⁰

1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :

(i) 4x² – 3x + 7

(ii) y² + √2

(iii) 3√t + t√2

(iv) y + 2/y

(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰

2. Write the coefficients of 𝐱² in each of the following:

(i) 𝟐 + 𝐱² + 𝐱

(ii) 𝟐 – 𝐱² + 𝐱³

(iii) π\2 x² + x

(iv) √2x - 1

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिएः

(i) 2 + x² + x

(ii) 2 – x² + x³

(iii) (π/2)x² + x

(iv) √2x – 1

3. Give one example each of:

a binomial of degree 𝟑𝟓, and

a monomial of degree 𝟏𝟎𝟎.

3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।

4. Write the degree of each of the following polynomials:

(i) 𝟓𝐱³ + 𝟒𝐱² + 𝟕𝐱

(ii) 𝟒 – 𝐲²

(iii) 𝟓𝐭 – √7

(iv) 𝟑

4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :

(i) 5x³ + 4x² + 7x

(ii) 4 – y²

(iii) 5t – √7

(iv) 3

5. Classify the following as linear, quadratic, and cubic polynomials:

(i) 𝐱² + 𝐱

(ii) 𝐱 – 𝐱³

(iii) 𝐲 + 𝐲² + 𝟒

(iv) 𝟏 + 𝐱

(v) 𝟑𝐭

(vi) 𝐫²

(vii) 𝟕𝐱³

5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैंः

(i) x² + x

(ii) x – x³

(iii) y + y² + 4

(iv) 1 + x

(v) 3t

(vi) r²

(vii) 7x³

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𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜𝐢𝐬𝐞 𝟐.𝟐

1. Find the value of the polynomial 𝟓𝐱 – 𝟒𝐱² + 𝟑 at:

(i) 𝐱 = 𝟎 (ii) 𝐱 = –𝟏 (iii) 𝐱 = 𝟐

1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिएः

(i) x = 0

(ii) x = –1

(iii) x = 2

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2. Find 𝐩(𝟎), 𝐩(𝟏) and 𝐩(𝟐) for each of the following polynomials:

(i) 𝐩(𝐲) = 𝐲² – 𝐲 + 𝟏

(ii) 𝐩(𝐭) = 𝟐 + 𝐭 + 𝟐𝐭² – 𝐭³

(iii) 𝐩(𝐱) = 𝐱³

(iv) 𝐩(𝐱) = (𝐱 – 𝟏)(𝐱 + 𝟏)

2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिएः

(i) p(y) = y² – y + 1

(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³

(iii) p(x) = x³

(iv) p(x) = (x – 1)(x + 1)

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3. Verify whether the following are zeroes of the polynomial, indicated against them:

(i) 𝐩(𝐱) = 𝟑𝐱 + 𝟏, 𝐱 = 1/3

(ii) 𝐩(𝐱) = 𝟓𝐱 – π, 𝐱 = 4/5

(iii) 𝐩(𝐱) = 𝐱² – 𝟏, 𝐱 = 𝟏, –𝟏

(iv) 𝐩(𝐱) = (𝐱 + 𝟏)(𝐱 – 𝟐), 𝐱 = –𝟏, 𝟐

(v) 𝐩(𝐱) = 𝐱², 𝐱 = 𝟎

(vi) 𝐩(𝐱) = 𝐥𝐱 + 𝐦, 𝐱 = -m/l

(vii) 𝐩(𝐱) = 𝟑𝐱² – 𝟏, 𝐱 = -1/√3, 2/√3

(viii) 𝐩(𝐱) = 𝟐𝐱 + 𝟏, 𝐱 = 1/2

3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैंः

(i) p(x) = 3x + 1; x = –1/3

(ii) p(x) = 5x – π; x = 4/5

(iii) p(x) = x² – 1; x = 1, –1

(iv) p(x) = (x + 1)(x – 2); x = –1, 2

(v) p(x) = x²; x = 0

(vi) p(x) = lx + m; x = –m/l

(vii) p(x) = 3x² – 1; x = –1/√3, 2/√3

(viii) p(x) = 2x + 1; x = –1/2

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4. Find the zero of the polynomial in each of the following cases:

(i) 𝐩(𝐱) = 𝐱 + 𝟓

(ii) 𝐩(𝐱) = 𝐱 – 𝟓

(iii) 𝐩(𝐱) = 𝟐𝐱 + 𝟓

(iv) 𝐩(𝐱) = 𝟑𝐱 – 𝟐

(v) 𝐩(𝐱) = 𝟑𝐱

(vi) 𝐩(𝐱) = 𝐚𝐱, 𝐚 ≠ 𝟎

(vii) 𝐩(𝐱) = 𝐜𝐱 + 𝐝, 𝐜 ≠ 𝟎, 𝐜, 𝐝 ∈ 𝐑

4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए:

(i) p(x) = x + 5

(ii) p(x) = x – 5

(iii) p(x) = 2x + 5

(iv) p(x) = 3x – 2

(v) p(x) = 3x

(vi) p(x) = ax; a ≠ 0

(vii) p(x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

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𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜𝐢𝐬𝐞 𝟐.𝟑

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1. Determine which of the following polynomials has (𝐱 + 𝟏) as a factor:

(i) 𝐱³ + 𝐱² + 𝐱 + 𝟏

(ii) 𝐱⁴ + 𝐱³ + 𝐱² + 𝐱 + 𝟏

(iii) 𝐱⁴ + 𝟑𝐱³ + 𝟑𝐱² + 𝐱 + 𝟏

(iv) 𝐱³ – 𝐱² – (2 + √2)x + √2

1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है:

(i) x³ + x² + x + 1

(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1

(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1

(iv) x³ – x² – (2 + √2)x + √2

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2. Use the Factor Theorem to determine whether 𝐠(𝐱) is a factor of 𝐩(𝐱) in each of the following cases:

(i) 𝐩(𝐱) = 𝟐𝐱³ + 𝐱² – 𝟐𝐱 – 𝟏, 𝐠(𝐱) = 𝐱 + 𝟏

(ii) 𝐩(𝐱) = 𝐱³ + 𝟑𝐱² + 𝟑𝐱 + 𝟏, 𝐠(𝐱) = 𝐱 + 𝟐

(iii) 𝐩(𝐱) = 𝐱³ – 𝟒𝐱² + 𝐱 + 𝟔, 𝐠(𝐱) = 𝐱 – 𝟑

2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं:

(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1

(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2

(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3

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3. Find the value of 𝐤, if 𝐱 – 𝟏 is a factor of 𝐩(𝐱) in each of the following cases:

(i) 𝐩(𝐱) = 𝐱² + 𝐱 + 𝐤

(ii) 𝐩(𝐱) = 𝟐𝐱² + 𝐤𝐱 + √2

(iii) 𝐩(𝐱) = 𝐤𝐱² – √2𝐱 + 𝟏

(iv) 𝐩(𝐱) = 𝐤𝐱² – 𝟑𝐱 + 𝐤

3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो:

(i) p(x) = x² + x + k

(ii) p(x) = 2x² + kx + √2

(iii) p(x) = kx² – √2x + 1

(iv) p(x) = kx² – 3x + k

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4. Factorise:

(i) 𝟏𝟐𝐱² – 𝟕𝐱 + 𝟏

(ii) 𝟐𝐱² + 𝟕𝐱 + 𝟑

(iii) 𝟔𝐱² + 𝟓𝐱 – 𝟔

(iv) 𝟑𝐱² – 𝐱 – 𝟒

4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(i) 12x² – 7x + 1

(ii) 2x² + 7x + 3

(iii) 6x² + 5x – 6

(iv) 3x² – x – 4

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5. Factorise:

(i) 𝐱³ – 𝟐𝐱² – 𝐱 + 𝟐

(ii) 𝐱³ – 𝟑𝐱² – 𝟗𝐱 – 𝟓

(iii) 𝐱³ + 𝟏𝟑𝐱² + 𝟑𝟐𝐱 + 𝟐𝟎

(iv) 𝟐𝐲³ + 𝐲² – 𝟐𝐲 – 𝟏

5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(i) x³ – 2x² – x + 2

(ii) x³ – 3x² – 9x – 5

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20

(iv) 2y³ + y² – 2y – 1

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𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜𝐢𝐬𝐞 𝟐.𝟒

1. Use suitable identities to find the following products:

(i) (𝐱 + 𝟒)(𝐱 + 𝟏𝟎)

(ii) (𝐱 + 𝟖)(𝐱 – 𝟏𝟎)

(iii) (𝟑𝐱 + 𝟒)(𝟑𝐱 – 𝟓)

(iv) (𝐲² + 3/2)(𝐲² – 3/2)

(v) (𝟑 – 𝟐𝐱)(𝟑 + 𝟐𝐱)

1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिएः

(i) (x + 4)(x + 10)

(ii) (x + 8)(x – 10)

(iii) (3x + 4)(3x – 5)

(iv) (y² + …)(y² – …)

(v) (3 – 2x)(3 + 2x)

2. Evaluate the following products without multiplying directly:

(i) 𝟏𝟎𝟑 × 𝟏𝟎𝟕

(ii) 𝟗𝟓 × 𝟗𝟔

(iii) 𝟏𝟎𝟒 × 𝟗𝟔

2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिएः

(i) 103 × 107

(ii) 95 × 96

(iii) 104 × 96

3. Factorise the following using appropriate identities:

(i) 𝟗𝐱² + 𝟔𝐱𝐲 + 𝐲²

(ii) 𝟒𝐲² – 𝟒𝐲 + 𝟏

(iii) 𝐱² – y²/100

3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिएः

(i) 9x² + 6xy + y²

(ii) 4y² – 4y + 1

(iii) x² –y²/100

4. Expand each of the following, using suitable identities:

(i) (𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝟒𝐳)²

(ii) (𝟐𝐱 – 𝐲 + 𝐳)²

(iii) (–𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝟐𝐳)²

(iv) (𝟑𝐚 – 𝟕𝐛 – 𝐜)²

(v) (–𝟐𝐱 + 𝟓𝐲 – 𝟑𝐳)²

(vi) [1/4 a - 1/2 b + 1 ]²

4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिएः

(i) (x + 2y + 4z)²

(ii) (2x – y + z)²

(iii) (–2x + 3y + 2z)²

(iv) (3a – 7b – c)²

(v) (–2x + 5y – 3z)²

(vi)[1/4 a - 1/2 b + 1 ]²

5. Factorise:

(i) 𝟒𝐱² + 𝟗𝐲² + 𝟏𝟔𝐳² + 𝟏𝟐𝐱𝐲 – 𝟐𝟒𝐲𝐳 – 𝟏𝟔𝐱𝐳

(ii) 𝟐𝐱² + 𝐲² + 𝟖𝐳² – 2√2𝐱𝐲 + 4√2𝐲𝐳 – 𝟖𝐱𝐳

5. गुणनखंडन कीजिएः

(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz

(ii) 2x² + y² + 8z² – …xy + …yz – 8xz

6. Write the following cubes in expanded form:

(i) (𝟐𝐱 + 𝟏)³

(ii) (𝟐𝐚 – 𝟑𝐛)³

(iii) (3/2 x + 1)³

(iv) (x - 2/3y )³

6. निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिएः

(i) (2x + 1)³

(ii) (2a – 3b)³

(iii) (3/2 x + 1)³

(iv) (x - 2/3y )³

7. Evaluate the following using suitable identities:

(i) (𝟗𝟗)³

(ii) (𝟏𝟎𝟐)³

(iii) (𝟗𝟗𝟖)³

7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिएः

(i) (99)³

(ii) (102)³

(iii) (998)³

8. Factorise each of the following:

(i) 𝟖𝐚³ + 𝐛³ + 𝟏𝟐𝐚²𝐛 + 𝟔𝐚𝐛²

(ii) 𝟖𝐚³ – 𝐛³ – 𝟏𝟐𝐚²𝐛 + 𝟔𝐚𝐛²

(iii) 𝟐𝟕 – 𝟏𝟐𝟓𝐚³ – 𝟏𝟑𝟓𝐚 + 𝟐𝟐𝟓𝐚²

(iv) 𝟔𝟒𝐚³ – 𝟐𝟕𝐛³ – 𝟏𝟒𝟒𝐚²𝐛 + 𝟏𝟎𝟖𝐚𝐛²

(v) 𝟐𝟕𝐩³ – 1/216 – 9/2 p² + 1/4 p

8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिएः

(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²

(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²

(v) 27p³ – 1/216 – 9/2 p² + 1/4 p

9. Verify:

(i) 𝐱³ + 𝐲³ = (𝐱 + 𝐲)(𝐱² – 𝐱𝐲 + 𝐲²)

(ii) 𝐱³ – 𝐲³ = (𝐱 – 𝐲)(𝐱² + 𝐱𝐲 + 𝐲²)

9. सत्यापित कीजिएः

(i) x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

(ii) x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)

10. Factorise each of the following:

(i) 𝟐𝟕𝐲³ + 𝟏𝟐𝟓𝐳³

(ii) 𝟔𝟒𝐦³ – 𝟑𝟒𝟑𝐧³

  [Hint: See Question 9.]

10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिएः

(i) 27y³ + 125z³

(ii) 64m³ – 343n³

[संकेत: देखिए प्रश्न 9]

11. Factorise:

𝟐𝟕𝐱³ + 𝐲³ + 𝐳³ – 𝟗𝐱𝐲𝐳

11. गुणनखंडन कीजिएः

27x³ + y³ + z³ – 9xyz

12. Verify that:

𝐱³ + 𝐲³ + 𝐳³ – 𝟑𝐱𝐲𝐳 = 1/2 (x + y + z ) [ ( x- y )² + ( y - z)² + (z - x )²] 

12. सत्यापित कीजिएः

x³ + y³ + z³ – 3xyz = 1/2 (x + y + z ) [ ( x- y )² + ( y - z)² + (z - x )²] 

13. If 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎, show that 𝐱³ + 𝐲³ + 𝐳³ = 𝟑𝐱𝐲𝐳.

13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।

14. Without actually calculating the cubes, find the value of each of the following:

(i) (–𝟏𝟐)³ + (𝟕)³ + (𝟓)³

(ii) (𝟐𝟖)³ + (–𝟏𝟓)³ + (–𝟏𝟑)³

14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिएः

(i) (–12)³ + (7)³ + (5)³

(ii) (28)³ + (–15)³ + (–13)³

15. Give possible expressions for the length and breadth of each of the following rectangles, in which their areas are given:

(i) Area : 25a² – 35a + 12

(ii) Area : 35y² + 13y – 12

15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिएः

(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12

(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12

16. What are the possible expressions for the dimensions of the cuboids whose volumes are given below?

(i) Volume : 3x² – 12x

(ii) Volume : 12ky² + 6ky – 20k

16. घनाभों (Cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?

(i) आयतन : 3x² – 12x

(ii) आयतन : 12ky² + 6ky – 20k