Class ix maths Chapter 6 with theorems

CLASS IX 

SUBJECT :- MATHS 

CHAPTER :- Lines and Angles

Exercise 6.1

1. In Fig. 6.13, lines AB and CD intersect at O. If ∠AOC + ∠BOE = 70° and ∠BOD = 40°, find ∠BOE and reflex ∠COE.

Fig. 6.13

आकृति 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है,

तो ∠BOE और प्रतिवर्ती कोण ∠COE ज्ञात कीजिए।

2. In Fig. 6.14, lines XY and MN intersect at O. If ∠POY = 90° and a : b = 2 : 3, find c.

Fig. 6.14

 आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है,

तो c ज्ञात कीजिए।

3. In Fig. 6.15, ∠PQR = ∠PRQ, then prove that ∠PQS = ∠PRT.

Fig. 6.15

आकृति 6.15 में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है,

तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।

4. In Fig. 6.16, if x + y = w + z, then prove that AOB is a line.

Fig. 6.16

 आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + z है,

तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

5. In Fig. 6.17, POQ is a line. Ray OR is perpendicular to line PQ. OS is another ray lying between rays OP and OR. Prove that

∠ROS =½ (∠QOS – ∠POS).

Fig. 6.17

 आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है। किरण OR, रेखा PQ पर लम्ब है।

किरणों OP और OR के बीच OS एक अन्य किरण है।

सिद्ध कीजिए :

∠ROS = ½ (∠QOS − ∠POS)

6. It is given that ∠XYZ = 64° and XY is produced to point P. Draw a figure from the given information. If ray YQ bisects ∠ZYP, find ∠XYQ and reflex ∠QYP.

 यह दिया गया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है।

दी गई जानकारी के आधार पर एक आकृति खींचिए।

यदि किरण YQ, कोण ∠ZYP को समद्विभाजित करती है,

तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती कोण ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।

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Exercise 6.2

1. In Fig. 6.23, if AB || CD, CD || EF and y : z = 3 : 7, find x.

Fig. 6.23

आकृति 6.23 में, यदि AB || CD, CD || EF,

और y : z = 3 : 7 है,

तो x का मान ज्ञात कीजिए।

2. In Fig. 6.24, if AB || CD, EF ⊥ CD and ∠GED = 126°, find ∠AGE, ∠GEF and ∠FGE.

Fig. 6.24

 आकृति 6.24 में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD,

और ∠GED = 126° है,

तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।

3. In Fig. 6.25, if PQ || ST, ∠PQR = 110° and ∠RST = 130°, find ∠QRS.

[Hint: Draw a line parallel to ST through point R.]

Fig. 6.25

 आकृति 6.25 में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110°,

और ∠RST = 130° है,

तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।

(संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए।)

4. In Fig. 6.26, if AB || CD, ∠APQ = 50° and ∠PRD = 127°, find x and y.

Fig. 6.26

 आकृति 6.26 में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50°,

और ∠PRD = 127° है,

तो x और y ज्ञात कीजिए।

5. In Fig. 6.27, PQ and RS are two mirrors placed parallel to each other. An incident ray AB strikes the mirror PQ at B, the reflected ray moves along the path BC and strikes the mirror RS at C and again reflects back along CD. Prove that AB || CD.

Fig. 6.27

 आकृति 6.27 में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समांतर रखे गए हैं।

एक आपतन किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है

और परावर्तित किरण BC पर चलते हुए दर्पण RS से C पर टकराती है,

फिर पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है।

सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

📘 Theorem 6.1 – Vertically Opposite Angles

🔷 Statement:

If two lines intersect each other, then the vertically opposite angles are equal.

यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

🧠 Concept Clarity:

जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो उनके बनने वाले विपरीत कोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।

✍️ Use in Geometry:

Angle solving problems

Proof-based questions

Geometry constructions

🖼️ Simple Diagram 

📘 Theorem 6.2 – Transitivity of Parallel Lines

🔷 Statement:

Lines which are parallel to the same line are parallel to each other.

वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।

🧠 Concept Clarity:

अगर दो रेखाएँ किसी तीसरी रेखा के समान्तर हैं, तो वे आपस में भी समान्तर होती हैं।

✍️ Use in Geometry:

Parallel line proofs

Angle relations in transversals

🖼️ Simple Diagram:

Line m → ──────────────────────

            ↑

           ||

Line l → ──────────────────────

            ↑

           ||

Line n → ──────────────────────

If l ∥ m and m ∥ n ⟹ then l ∥ n