Class ix maths Chapter 7

CLASS ix 

SUBJECT :- MATHS 

CHAPTER :-  Triangles

Exercise 7.1

1. In quadrilateral ACBD,

AC = AD and AB bisects ∠A (see Fig. 7.16).

Show that ∆ABC ≅ ∆ABD.

What can you say about BC and BD?

चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 7.16)। दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆ABD है।

BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

2. ABCD is a quadrilateral in which AD = BC and ∠DAB = ∠CBA (see Fig. 7.17).

Prove that:

ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति 7.17)। सिद्ध कीजिए कि:

(i) ∆ABD ≅ ∆BAC

(ii) BD = AC

(iii) ∠ABD = ∠BAC

3. AD and BC are equal perpendiculars to a line segment AB (see Fig. 7.18).

Show that CD bisects AB.

 एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिए आकृति 7.18)। दर्शाइए कि CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।

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4. l and m are two parallel lines intersected by another pair of parallel lines p and q (see Fig. 7.19).

Show that ∆ABC ≅ ∆CDA.

l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है (देखिए आकृति 7.19)। दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है।

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5. Line l is the bisector of angle ∠A and B is any point on l.

BP and BQ are perpendiculars from B to the arms of ∠A (see Fig. 7.20).

Show that:

रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है। BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिए आकृति 7.20)। दर्शाइए कि:

(i) ∆APB ≅ ∆AQB

(ii) BP = BQ or B is equidistant from the arms of ∠A

(ii) BP = BQ अर्थात् B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

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6. In Fig. 7.21, AC = AE, AB = AD and ∠BAD = ∠EAC.

Show that BC = DE.

 आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दर्शाइए कि BC = DE है।

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7. AB is a line segment and P is its mid-point.

D and E are points on the same side of AB such that

∠BAD = ∠ABE and ∠EPA = ∠DPB (see Fig. 7.22).

Show that:

AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित बिंदु हैं, जिनके लिए ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है (देखिए आकृति 7.22)। दर्शाइए कि:

(i) ∆DAP ≅ ∆EBP

(ii) AD = BE

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8. In right triangle ABC, right-angled at C, M is the mid-point of hypotenuse AB.

C is joined to M and produced to a point D such that DM = CM.

D is joined to point B (see Fig. 7.23).

Show that:

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠C = 90°, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से मिलाकर D तक बढ़ाया गया है, जहाँ DM = CM है (देखिए आकृति 7.23)। दर्शाइए कि:

(i) ∆AMC ≅ ∆BMD

(ii) ∠DBC is a right angle

(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB

(iv) CM = ½ AB

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Exercise 7.2

1. In an isosceles triangle ABC, with AB = AC,

the bisectors of ∠B and ∠C intersect each other at O.

Join A to O.

Show that:

(i) OB = OC

(ii) AO bisects ∠A

 समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जहाँ AB = AC, कोण B और C के समद्विभाजक O पर मिलते हैं। AO को मिलाइए। दर्शाइए कि:

(i) OB = OC

(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करता है

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2. In ∆ABC, AD is the perpendicular bisector of BC (see Fig. 7.30).

Show that ∆ABC is an isosceles triangle in which AB = AC.

 ∆ABC में AD भुजा BC का लंब समद्विभाजक है (देखिए आकृति 7.30)। दर्शाइए कि ∆ABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है।

3. ABC is an isosceles triangle in which altitudes BE and CF are drawn to equal sides AC and AB respectively (see Fig. 7.31).

Show that these altitudes are equal.

 ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर BE और CF शीर्षलंब हैं (देखिए आकृति 7.31)। दर्शाइए कि BE = CF है।

4. ABC is a triangle in which altitudes BE and CF to sides AC and AB are equal (see Fig. 7.32).

Show that:

(i) ∆ABE ≅ ∆ACF

(ii) AB = AC, i.e., ABC is an isosceles triangle.

ABC एक त्रिभुज है, जिसमें BE और CF शीर्षलंब हैं और BE = CF (देखिए आकृति 7.32)। दर्शाइए कि:

(i) ∆ABE ≅ ∆ACF

(ii) AB = AC, अर्थात् ABC समद्विबाहु त्रिभुज है

5. ABC and DBC are two isosceles triangles on the same base BC (see Fig. 7.33).

Show that ∠ABD = ∠ACD

 ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।

6. ∆ABC is an isosceles triangle in which AB = AC.

Side BA is produced to D such that AD = AB (see Fig. 7.34).

Show that ∠BCD is a right angle.

ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जहाँ AB = AC है। BA को D तक बढ़ाया गया है ताकि AD = AB हो (देखिए आकृति 7.34)। दर्शाइए कि ∠BCD समकोण है।

7. ABC is a right-angled triangle in which ∠A = 90° and AB = AC.

Find ∠B and ∠C.

 ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।

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8. Show that the angles of an equilateral triangle are 60° each.

 दर्शाइए कि समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण 60° होते हैं।

5 चित्र है।

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Exercise 7.3

1. ∆ABC and ∆DBC are two isosceles triangles on the same base BC,

and vertices A and D are on the same side of BC (see Fig. 7.39).

If AD is extended to intersect BC at P, show that:

(i) ∆ABD ≅ ∆ACD

(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP

(iii) AP bisects ∠A as well as ∠D

(iv) AP is the perpendicular bisector of BC

1. ∆ABC और ∆DBC एक ही आधार BC पर स्थित समद्विबाहु त्रिभुज हैं, जिनमें बिंदु A और D BC के एक ही ओर हैं (देखिए आकृति 7.39)। यदि AD बढ़ाने पर यह रेखा BC को P पर काटे, तो सिद्ध कीजिए कि:

(i) ∆ABD ≅ ∆ACD

(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP

(iii) AP, ∠A और ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है

(iv) AP, BC का लंब समद्विभाजक है

2. AD is an altitude of an isosceles triangle ABC in which AB = AC.

Show that:

(i) AD bisects BC

(ii) AD bisects ∠A

2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का शीर्षलंब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि:

(i) AD, BC को समद्विभाजित करता है

(ii) AD, ∠A को समद्विभाजित करता है

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3. Two sides AB and BC and median AM of triangle ABC are respectively equal to sides PQ and QR and median PN of ∆PQR (see Fig. 7.40).

Show that:

त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM, त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और QR और माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति 7.40)। सिद्ध कीजिए कि:

(i) ∆ABM ≅ ∆PQN

(ii) ∆ABC ≅ ∆PQR

4. BE and CF are two equal altitudes of triangle ABC.

Using RHS congruence rule, prove that triangle ABC is isosceles.

 BE और CF, त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का उपयोग कर सिद्ध कीजिए कि ABC समद्विबाहु त्रिभुज है।

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5. ABC is an isosceles triangle with AB = AC.

Draw AP ⊥ BC to show that ∠B = ∠C.

ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींच कर सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है।

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🧮 Theorem 7.1 (ASA Congruence Rule)

Two triangles are congruent if two angles and the included side of one triangle are equal to two angles and the included side of the other triangle.

 (प्रमेय 7.1):

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हों।

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🔺 Theorem 7.2

Angles opposite to equal sides of an isosceles triangle are equal. This result can be proved in many ways. One of the proofs is given here.

(प्रमेय 7.2):

एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इस परिणाम को कई विधियों से सिद्ध किया जा सकता है। इनमें से एक उपपत्ति नीचे दी जा रही है।

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🔻 Theorem 7.3

The sides opposite to equal angles of a triangle are equal.

 (प्रमेय 7.3):

किसी त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

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📐 Theorem 7.4 (SSS Congruence Rule)

If three sides of one triangle are equal to the three sides of another triangle, then the two triangles are congruent.

(प्रमेय 7.4):

यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ एक अन्य त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

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🧲 Theorem 7.5 (RHS Congruence Rule)

If in two right triangles, the hypotenuse and one side of one triangle are equal to the hypotenuse and one side of the other triangle, then the two triangles are congruent.

(प्रमेय 7.5):

यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा क्रमशः दूसरे त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

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