class ix maths Chapter 9

CLASS IX 

SUBJECT :- MATHS 

CHAPTER :- Circles 

EXERCISE 9.1

1. Recall that two circles are congruent if they have the same radii. Prove that equal chords of congruent circles subtend equal angles at their centres.

 याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

2. Prove that if chords of congruent circles subtend equal angles at their centres, then the chords are equal.

 सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

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EXERCISE 9.2

1. Two circles of radii 5 cm and 3 cm intersect at two points and the distance between their centres is 4 cm. Find the length of the common chord.

 5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

2. If two equal chords of a circle intersect within the circle, prove that the segments of one chord are equal to corresponding segments of the other chord.

यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

3. If two equal chords of a circle intersect within the circle, prove that the line joining the point of intersection to the centre makes equal angles with the chords.

 यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।

4. If a line intersects two concentric circles (circles with the same centre) with centre O at A, B, C and D, prove that AB = CD.

यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है (देखिए आकृति 9.12)।

5. Three girls Reshma, Salma and Mandip are playing a game by standing on a circle of radius 5 m drawn in a park. Reshma throws a ball to Salma, Salma to Mandip, Mandip to Reshma. If the distance between Reshma and Salma and between Salma and Mandip is 6 m each, what is the distance between Reshma and Mandip?

 एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

6. A circular park of radius 20 m is situated in a colony. Three boys Ankur, Syed and David are sitting at equal distances on its boundary, each having a toy telephone in his hands to talk to each other. Find the length of the string of each phone.

 20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिधि पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

1 चित्र

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EXERCISE 9.3

1. In Fig. 9.23, A, B and C are three points on a circle with centre O such that ∠BOC = 30° and ∠AOB = 60°. If D is a point on the circle other than the arc ABC, find ∠ADC.

आकृति 9.23 में, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।

2. A chord of a circle is equal to the radius of the circle. Find the angle subtended by the chord at a point on the minor arc and also at a point on the major arc.

किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

3. In Fig. 9.24, ∠PQR = 100°, where P, Q and R are points on a circle with centre O. Find ∠OPR.

आकृति 9.24 में, ∠PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।

4. In Fig. 9.25, ∠ABC = 69°, ∠ACB = 31°, find ∠BDC.

आकृति 9.25 में, ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए।

5. In Fig. 9.26, A, B, C and D are four points on a circle. AC and BD intersect at a point E such that ∠BEC = 130° and ∠ECD = 20°. Find ∠BAC.

आकृति 9.26 में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिन्दु हैं। AC और BD एक बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।

6. ABCD is a cyclic quadrilateral whose diagonals intersect at a point E. If ∠DBC = 70°, ∠BAC is 30°, find ∠BCD. Further, if AB = BC, find ∠ECD.

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।

7. If diagonals of a cyclic quadrilateral are diameters of the circle through the vertices of the quadrilateral, prove that it is a rectangle.

यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।

8. If the non-parallel sides of a trapezium are equal, prove that it is cyclic.

यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।

9. Two circles intersect at two points B and C. Through B, two line segments ABD and PBQ are drawn to intersect the circles at A, D and P, Q respectively. Prove that ∠ACP = ∠QCD.

दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति 9.27)। सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD है।

10. If circles are drawn taking two sides of a triangle as diameters, prove that the point of intersection of these circles lies on the third side.

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।

11. ABC and ADC are two right triangles with common hypotenuse AC. Prove that ∠CAD = ∠CBD.

उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।

12. Prove that a cyclic parallelogram is a rectangle.

सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है।

📢 THEOREMS 

Theorem 9.1 : Equal chords of a circle subtend equal angles at the centre.

प्रमेय 9.1 : वृत्त की बराबर जीवाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

Theorem 9.2 : If the angles subtended by the chords of a circle at the centre are equal, then the chords are equal.

प्रमेय 9.2 : यदि एक वृत्त की जीवाओं द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण बराबर हों, तो वे जीवाएँ बराबर होती हैं।

Theorem 9.3 : The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.

प्रमेय 9.3 : एक वृत्त के केन्द्र से एक जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

Theorem 9.4 : The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.

प्रमेय 9.4 : एक वृत्त के केन्द्र से एक जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर लंब होती है।

Theorem 9.5 : Equal chords of a circle (or of congruent circles) are equidistant from the centre (or centres).

प्रमेय 9.5 : एक वृत्त की (या सर्वांगसम वृत्तों की) बराबर जीवाएँ केन्द्र से (या केन्द्रों से) समान दूरी पर होती हैं।

Theorem 9.6 : Chords equidistant from the centre of a circle are equal in length.

प्रमेय 9.6 : एक वृत्त के केन्द्र से समदूरस्थ जीवाएँ लम्बाई में समान होती हैं।

Theorem 9.7 : The angle subtended by an arc at the centre is double the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle.

प्रमेय 9.7 : एक चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।

Theorem 9.8 : Angles in the same segment of a circle are equal.

प्रमेय 9.8 : एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।

Theorem 9.9 : If a line segment joining two points subtends equal angles at two other points lying on the same side of the line containing the line segment, the four points lie on a circle.

प्रमेय 9.9 : यदि दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, उसको अंतर्विष्ट करने वाली रेखा के एक ही ओर स्थित दो अन्य बिन्दुओं पर समान कोण अंतरित करे, तो चारों बिन्दु एक वृत्त पर स्थित होते हैं (अर्थात् वे चक्रीय होते हैं)।

Theorem 9.10 : The sum of either pair of opposite angles of a cyclic quadrilateral is 180°.

प्रमेय 9.10 : चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग 180º होता है।

Theorem 9.11 : If the sum of a pair of opposite angles of a quadrilateral is 180°, the quadrilateral is cyclic.

प्रमेय 9.11 : यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग 180º हो, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।