Class x maths Chapter 10

CLASS X 

SUBJECT :- MATHS

CHAPTER :- 10 

Circles

Exercise 10.1

1. How many tangents can a circle have?

1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

2. Fill in the blanks :

 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिएः

(i) A tangent to a circle intersects it in ____

point (s).

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे _____बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।

(ii) A line intersecting a circle in two points is called a ____.

वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को _____कहते हैं।

(iii) A circle can have _____parallel tangents at the most.

एक वृत्त की ______समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

(iv) The common point of a tangent to a circle and the circle is called ______.

वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को 

_____कहते हैं।

3. A tangent PQ at a point P of a circle of radius 5 cm meets a line through the centre O at a point Q so that OQ = 12 cm. Length PQ is :

(A) 12 cm (B) 13 cm (C) 8.5 cm (D) √119

cm.

 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई हैः

(A) 12 सेमी (B) 13 सेमी (C) 8.5 सेमी (D) √119

सेमी

4. Draw a circle and two lines parallel to a given line such that one is a tangent and the other, a secant to the circle.

एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

Exercise 10.2

In Q.1 to 3, choose the correct option and give justification.

1. From a point Q, the length of the tangent to a circle is 24 cm and the distance of Q from the centre is 25 cm. The radius of the circle is

प्रश्न सं. 1, 2, 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।

1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या हैः

(A) 7 cm (B) 12 cm

(C) 15 cm (D) 24.5 cm

2. In Fig. 10.11, if TP and TQ are the two tangents to a circle with centre O so that ∠ POQ = 110°, then ∠ PTQ is equal to

आकृति 10.11 में, यदि TP, TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠ POQ = 110°, तो ∠ PTQ बराबर हैः

(A) 60° (B) 70°

(C) 80° (D) 90°

Fig. 10.11

3. If tangents PA and PB from a point P to a circle with centre O are inclined to each other at angle of 80°, then ∠ POA is equal to

यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80º के कोण पर झुकी हों, तो ∠ POA बराबर है :

(A) 50° (B) 60

(C) 70° (D) 80°

4. Prove that the tangents drawn at the ends of a diameter of a circle are parallel.

 सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

5. Prove that the perpendicular at the point of contact to the tangent to a circle passes through the centre.

सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

6. The length of a tangent from a point A at distance 5 cm from the centre of the circle is 4 cm. Find the radius of the circle.

 एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

7. Two concentric circles are of radii 5 cm and 3 cm. Find the length of the chord of the larger circle which touches the smaller circle.

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

8. A quadrilateral ABCD is drawn to circumscribe a circle (see Fig. 10.12). Prove that

AB + CD = AD + BC

एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (देखिए आकृति 10.12)। सिद्ध कीजिए :

AB + CD = AD + BC

Fig. 10.12

9. In Fig. 10.13, XY and X′Y′ are two parallel tangents to a circle with centre O and another tangent AB with point of contact C intersecting XY at A and X′Y′ at B. Prove that ∠ AOB = 90°.

 आकृति 10.13 में XY तथा X′Y′, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C

पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X′Y′ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90º है।

10. Prove that the angle between the two tangents drawn from an external point to a circle is supplementary to the angle subtended by the line-segment joining the points of contact at the centre.

सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।

11. Prove that the parallelogram circumscribing a circle is a rhombus.

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

12. A triangle ABC is drawn to circumscribe a circle of radius 4 cm such that the segments BD and DC into which BC is divided by the point of contact D are of lengths 8 cm and 6 cm respectively (see Fig. 10.14). Find the sides AB and AC.    Fig. 10.14

4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति 10.14)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

13. Prove that opposite sides of a quadrilateral circumscribing a circle subtend supplementary angles at the centre of the circle.

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।