Class x maths Chapter 6

CLASS X 

SUBJECT :- MATHS 

CHAPTER :- Triangles

Exercise 6.1

1. Fill in the blanks using the correct word given in brackets :

कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिएः

(i) All circles are _____. (congruent, similar)

i) सभी वृत्त _____

  होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)

(ii) All squares are _____. (similar, congruent)

सभी वर्ग _____

  होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)

(iii) All _____triangles are similar. (isosceles, equilateral)

सभी _____

  त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)

(iv) Two polygons of the same number of sides are similar, if (a) their corresponding angles are _____and (b) their corresponding sides are  _____ .(equal, proportional)

भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण _____

  हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ _____

  हों। (बराबर, समानुपाती)

  

  

2. Give two different examples of pair of

निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिएः

(i) similar figures.

समरूप आकृतियाँ  

 (ii) non-similar figures.

ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।

3. State whether the following quadrilaterals are similar or not:

3. बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहींः

Fig. 6.8

Exercise 6.2

1. In Fig. 6.17, (i) and (ii), DE || BC. Find EC in (i) and AD in (ii).

Fig. 6.17

. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिएः

2. E and F are points on the sides PQ and PR respectively of a ∆ PQR. For each of the following cases, state whether EF || QR :

Fig. 6.18

किसी ∆ PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR हैः

आकृति 6.18  

(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm and FR = 2.4 cm

PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm and RF = 9 cm

PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm and PF = 0.36 cm

PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm

3. In Fig. 6.18, if LM || CB and LN || CD, prove that 

    AM / AB = AN / AD 

3. आकृति 6.18 में यदि LM || CB और LN || CD हो  तो सिद्ध कीजिए कि AM / AB = AN / AD 

है।

4. In Fig. 6.19, DE || AC and DF || AE. Prove that 

BF / FE = BE / EC

Fig. 6.19

आकृति 6.19 में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए किBF / FE = BE / ECहै।

5. In Fig. 6.20, DE || OQ and DF || OR. Show that EF || QR.

Fig. 6.20

आकृति 6.20 में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

6. In Fig. 6.21, A, B and C are points on OP, OQ and OR respectively such that AB || PQ and AC || PR. Show that BC || QR.

Fig. 6.21

आकृति 6.21 में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि

AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

7. Using Theorem 6.1, prove that a line drawn through the mid-point of one side of a triangle parallel to another side bisects the third side. (Recall that you have proved it in Class IX).

प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

8. Using Theorem 6.2, prove that the line joining the mid-points of any two sides of a triangle is parallel to the third side. 

(Recall that you have done it in Class IX).

प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।

9. ABCD is a trapezium in which AB || DC and its diagonals intersect each other at the point O. Show that 

AO / BO = CO / DO

ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO / BO = CO / DOहै।

10. The diagonals of a quadrilateral ABCD intersect each other at the point O such that AO / BO = CO / DO

Show that ABCD is a trapezium.

 एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO / BO = CO / DO

है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

Exercise 6.3

1. State which pairs of triangles in Fig. 6.34 are similar. Write the similarity criterion used by you for answering the question and also write the pairs of similar triangles in the symbolic form :

Fig. 6.34

बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

2. In Fig. 6.35, ∆ ODC ~ ∆ OBA, ∠ BOC = 125° and ∠ CDO = 70°. Find ∠ DOC, ∠ DCO and ∠ OAB.

Fig. 6.35

आकृति 6.35 में, ∆ ODC ~ ∆ OBA, ∠ BOC = 125° और ∠ CDO = 70° है। ∠ DOC, ∠ DCO और ∠ OAB ज्ञात कीजिए।

3. Diagonals AC and BD of a trapezium ABCD with AB || DC intersect each other at the point O. Using a similarity criterion for two triangles, show that 

OA / OC  = OB / OD 

3. समलंब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि  

OA / OC = OB / OD 

है।

4. In Fig. 6.36, 

QR /  QS =    QT / PR

and ∠ 1 = ∠ 2. Show that ∆ PQS ~ ∆ TQR.

Fig. 6.36

आकृति 6.36 में, 

QR / QS = QT / PR

तथा

 ∠ 1= ∠ 2 है। दर्शाइए कि ∆ PQS ~ ∆ TQR है।

5. S and T are points on sides PR and QR of

∆ PQR such that ∠ P = ∠ RTS. Show that

∆ RPQ ~ ∆ RTS.

 ∆ PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और Τ इस प्रकार स्थित हैं कि ∠ P = ∠ RTS है। दर्शाइए कि ∆ RPQ ~ ∆ RTS है।

6. In Fig. 6.37, if ∆ ABE ≅ ∆ ACD, show that  ∆ ADE ~ ∆ ABC.

Fig. 6.37

आकृति 6.37 में, यदि ∆ ABE ≅ ∆ ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ ADE ~ ∆ ABC है।

7. In Fig. 6.38, altitudes AD and CE of ∆ ABC intersect each other at the point P. Show that:

Fig. 6.38

. आकृति 6.38 में, ∆ ABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए किः

(i) ∆ AEP ~ ∆ CDP

(ii) ∆ ABD ~ ∆ CBE

(iii) ∆ AEP ~ ∆ ADB

(iv) ∆ PDC ~ ∆ BEC

8. E is a point on the side AD produced of a parallelogram ABCD and BE intersects CD at F. Show that ∆ ABE ~ ∆ CFB.

8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F परप्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि   ∆ ABE ~ ∆ CFB है।

9. In Fig. 6.39, ABC and AMP are two right triangles, right angled at B and M respectively. Prove that:

Fig. 6.39

आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए किः

(i) ∆ ABC ~ ∆ AMP

(ii) CA / PA = BC / MP

  

10. CD and GH are respectively the bisectors of ∠ ACB and ∠ EGF such that D and H lie on sides AB and FE of ∆ ABC and ∆ EFG respectively. If ∆ ABC ~ ∆ FEG, show that:

CD और GH क्रमशः ∠ ACB और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ∆ ABC ~ ∆ FE है, तो दर्शाइए किः

(i) CD / GH = AC / Fg

(ii) ∆ DCB ~ ∆ HGE

(iii) ∆ DCA ~ ∆ HGF

11. In Fig. 6.40, E is a point on side CB produced of an isosceles triangle ABC with AB = AC. If AD ⊥ BC and EF ⊥ AC, prove that ∆ ABD ~ ∆ ECF.

Fig. 6.40

आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ∆ ABD ~ ∆ ECF है।

आकृति 6.40

12. Sides AB and BC and median AD of a triangle ABC are respectively propor-tional to sides PQ and QR and median PM of ∆ PQR (see Fig. 6.41). Show that ∆ ABC ~ ∆ PQR.

Fig. 6.41

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)। दर्शाइए कि ∆ ABC ~ ∆ PQR है।

13. D is a point on the side BC of a triangle ABC such that ∠ ADC = ∠ BAC. Show that CA2 = CB.CD.

 एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ ADC = ∠ BAC है। दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है।

14. Sides AB and AC and median AD of a triangle ABC are respectively proportional to sides PQ and PR and median PM of another triangle PQR. Show that ∆ ABC ~ ∆ PQR.

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ ABC ~ ∆ PQR है।

15. A vertical pole of length 6 m casts a shadow 4 m long on the ground and at the same time a tower casts a shadow 28 m long. Find the height of the tower.

लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

16. If AD and PM are medians of triangles ABC and PQR, respectively where  ∆ ABC ~ ∆ PQR, prove that 

  AB / PQ = AD / PM

 AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ∆ ABC ~ ∆ PQR है। सिद्ध कीजिए कि AB / PQ = AD / PM

है।